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    “問題解決”和中學數學課程

    時間:2006-11-21欄目:數學論文

    一、背景和意義  

      19世紀末,20世紀初,一些心理學家首先對問題解決進行了研究,并對“問題解決”作了諸多的闡釋。在國際數學教育界,從美國的波利亞首先對怎樣解題作了詳盡的探討開始,逐漸對這個問題展開了研究。尤其是在美國,從60年代“新數運動”過分強調數學的抽象結構,忽視數學與實際的聯系,脫離教學實際,到70年代“回到基幢走向另一個極端,片面強調掌握低標準的基礎知識,數學教學水平普遍下降。在對于數學教育發展方向作了長期探索以后,“問題解決”和“大眾數學(mathematicsforal)”已經成為美國數學教育的響亮口號,并產生國際影響。  

      什么是問題解決,由于觀察的角度不同,至今仍然沒有完全統一的認識。  

      有的認為,問題解決指的是人們在日常生活和社會實踐中,面臨新情景、新課題,發現它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現成對策時,所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動。有的把學習分成八種類型:信號學習、……概念學習、法則學習和問題解決。問題解決是其中最高級和復雜的一種類型,意味著以獨特的方式選擇多組法則,并且把它們綜合起來運用,它將導致建立起學習者先前不知道的更高級的一組法則。英國學校數學教育調查委員會報告《數學算數》則認為:把數學應用于各種情形的能力就是“問題解決”。全美數學教師理事會《行動的議程》對問題解決的意義作了如下說明:第一,問題解決包括將數學應用于現實世界,包括為現時和將來出現的科學理論與實際服務,也包括解決拓廣數學科學本身前沿的問題;第二,問題解決從本質上說是一種創造性的活動;第三,問題解決能力的發展,其基礎是虛心、好奇和探索的態度,是進行試驗和猜測的意向;等等。  

      從上述對問題解決意義的闡述中,我們可以看到一些共性和相通之處。從數學教育的角度來看,問題解決中所指的問題來自兩個方面:現實社會生活和生產實際,數學學科本身。問題的一個重要特征是其對于解決問題者的新穎性,使得問題解決者沒有現成的對策,因而需要進行創造性的工作。要順利地進行問題解決,其前提是已經了解、掌握所需要的基礎知識、基本技能和能力,在問題解決中要綜合地運用這些基礎知識、基本技能和能力。在問題解決中,問題解決者的態度是積極的。此外,在學校數學教學中,所謂創造性地解決問題,有別于數學家的創造性工作,主要指學習中的再創造。因而,筆者認為,從數學教育的角度看,問題解決的意義是:以積極探索的態度,綜合運用已具有的數學基礎知識、基本技能和能力,創造性地解決來自數學課或實際生活和生產實際中的新問題的學習活動。  

      簡言之,就數學教育而言,問題解決就是創造性地應用數學以解決問題的學習活動。  

      問題解決中,問題本身常具有非常規性、開放性和應用性,問題解決過程具有探索性和創造性,有時需要合作完成。  

    二、“問題解決”的重要性  
      問題解決已引起國內外數學教育界的廣泛重視,把它和數學課程緊密聯系起來,已是國際數學教育的一個趨勢。究其原因,筆者認為主要有以下幾方面:  

    (一)時代呼喚創新  

      在國際競爭日益激烈的當今世界,各國政府乃至普通老百姓都越來越清楚認識到,國家的富強,乃至企業的興衰,無不取決于對科學技術知識的學習、掌握及其創造性的開拓和應用。但創造能力并非與生俱有,必須通過有意識的學習和訓練才能形成。學校教育必須重視培養學生應用所學知識進行創造性工作的能力。問題解決正反映了這種社會需要。  

    (二)我國數學教育的成功和不足  

      我國的中學數學教學與國際上其它一些國家的中學數學教學比較,具有重視基礎知識教學,基本技能訓練,數學計算、推理和空間想象能力的培養等顯著特點,因而我國中學生的數學基本功比較扎實,學生的整體數學水平較高。然而,改革開放也使我國數學教育界看到了我國中學數學教學的一些不足。其中比較突出的兩個問題是,學生應用數學的意識不強,創造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數學問題,不能把所學的數學知識應用到實際問題中去,對所學數學知識的實際背景了解不多;學生機械地模仿一些常見數學問題解法的能力較強,而當面臨一種新的問題時卻辦法不多,對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。面對這種情況,我國數學教育界采取了一些相應措施。例如,北京、上海等地分別開展了中學生數學應用競賽,在近年高校招生數學考試中,也加強了對學生應用數學意識和創造性思維方法與能力的考查等。雖然這些措施收到了一定的成效,然而要從根本上改變現狀,還應在中學數學課程設計上有所突破。一些學者認為,在中學數學課程中體現問題解決的思想,是解決上述問題的有效途徑。  

    (三)數學觀的發展  

      數學發展至今,人們對數學的總的看法由相對靜態的觀點轉向靜態和動態相結合的觀點。對于數學是什么,經典的是恩格斯的定義:數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。恩格斯對數學的觀點是相對靜止的,它主要指出了數學的客觀真理性,然而,當今的社會實踐告訴人們還應該用動態的觀點去認識數學,即從數學與人類實踐的關系去認識數學。就數學教育而言,學生之所以要學習數學,除了數學的客觀真理性,更在于數學是改造客觀世界的重要工具。學數學,首先是為了應用。應用數學是學數學的出發點和歸宿。所以,數學教學的主要任務是教給學生在實際生活和生產實踐中最有用的數學基礎知識,并在教學過程中有意識地培養學生應用這些知識分析和解決實際問題的能力。  

    (四)問題解決過程和方法的一般性  

      在解決來自實際和數學內部的數學問題中,問題解決的過程和方法是基本相同的。不僅如此,這種過程和方法與解決一般的、其它學科中問題的過程和方法有很多共同之處。在數學問題解決中學習的過程和方法可以遷移到其它學科的問題解決過程中。此外,相對于其它學科的問題來學,解決數學問題所需要的工具和材料要少得多,有時只需要一支筆,一張紙。因而通過數學問題解決,可以較快地教給學生一般的問題解決的過程和思想方法,具有較高的效率。  

    三、“問題解決”和中學數學課程  

      問題解決在各國的中學數學課程中的引入方式各不相同,英國SMP數學課程專門設置了一種問題解決課,我國人民教育出版社出版的義務教育初中數學課程中設立了實習作業、應用題、想一想、做一做等,在高中數學試驗課本中也增加了研究題等,這些和問題解決思想是一致的。筆者認為,從目前中國的

    實際情況出發,重要的是在中學數學課程中去體現問題解決的思想精髓,這就是它所強調的創造能力和應用意識。就是說,在中學數學課程中應強調以下幾點:  

    (一)鼓勵學生去探索、猜想、發現  

      要培養學生的創造能力,首先是要讓學生具有積極探索的態度,猜想、發現的欲望。教材要設法鼓勵學生去探索、猜想和發現,培養學生的問題意識,經常地啟發學生去思考,提出問題。  

      學生學習的過程本身就是一個問題解決的過程。當學生學習一門嶄新的課程、一章新的知識、乃至一個新的定理和公式時,對學生來說,就是面臨一個新問題。例如,高中數學課是在學生學習了初中代數、幾何課以后開設的,學生對數學已經有比較豐富的感性認識,教科書中是否可以提出,或者說應該教學生提出以下的一些問題:高中數學課是怎樣的一門課?高中數學課和小學數學、初中代數、初中幾何課有什么關系?數學是怎樣的一門科學?這門科學是怎樣產生和發展起來的?高中數學將要學習哪些知識?這些知識在實際中有什么用?這些知識和以后將要學習的數學知識、高中其它學科知識有些什么關系,有怎樣的地位作用?要學好高中數學應注意些什么問題?當然,對這些問題,即使是學完整個高中數學課程以后,也不一定能完全回答好,但在學這門課之前還是要引導學生去思考這些問題,這也正是教科書編者所要考慮并應該盡可能在教科書中回答的。筆者認為,在高中數學課中可以安排一個引言課。同樣,在每一章,乃至每一單元都

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