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    數學美與數學教學

    時間:2006-11-21欄目:數學論文

      學生對數學的態度有驚人的差異,這很大程度上歸因于對數學美的領悟和鑒賞。數學美是一種極其嚴肅、雅致和含蓄的美,學生受到基礎知識和審美能力的限制,并不都具有理想的鑒賞能力。因此,喚醒他們對數學的美好情感,倡導對數學美的崇尚是數學教育的任務之一
      一、數學知識的結構美與教學
      數學基礎知識主要包括數學概念、命題、法則以及內容所反映出來的數學思想方法。數學知識的和諧美和簡練美是數學知識結構美的兩個主要方面。
      數學知識的和諧美是數學的普遍形式。教學時,教師不但要對這種美有較深刻的領悟,且要能藝術地表現出來。例如,在推導橢圓的標準方程時,由定義“到兩定點F[,1](c,0)和F[,2](-c,0)距離之和為定長2a的點的軌跡”可直接寫出方程:。這個方程能正確地表達橢圓的代數形式,但比較復雜,更不便于計算,故化簡整理成。方程中的b開始似乎純粹是為了追求方程的和諧美而引進的,但在研究橢圓性質時,可進一步發現a、b恰好為橢圓的長、短半軸長,b竟有鮮明的幾何解釋。人們內心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表現,這實際上也體現了美與美之間和諧的統一。教師在推導過程中的示范,喚醒了學生的審美意識,學生也進入到美的境界,得到美的享受。在此基礎上,讓學生根據定義畫出橢圓,且要求他們用生動形象的數學語言表達自己的思維活動。這樣,再讓學生感受和體驗美的同時,激勵他們創造美,使數學美在教學中的作用發揮得淋漓盡致。
      數學知識的簡練美是數學的主要藝術特色。“數的整除”一章是《初等數論》中的一部分,為了照顧小學生的年齡特點,教材進行了簡化處理,結構如下圖:
      附圖
      由圖看出,本章以倍數、約數為核心構建了知識的結構美。事實上,對簡練美的追求是數學研究的一部分,它促進了數學理論的發展,也有益于知識的系統化。而數學知識的系統性,成為知識發展的主要特點:數學內容的發生和發展都是與它的知識點的形成分不開的,若干個知識點之間的聯系,既具有縱向的順序性,又具有橫向的層次性。
        二、數學思維的協同美與教學
      數學思維是人腦和數學對象交互作用并按一般的思維規律認識數學規律的過程。數學思維的協同美大體上可從以下兩個方面表現出來。
      歸納和演繹的相互作用。數學中大量地需要歸納,同時也需要演繹,在許多情況下兩者互為作用的。在數學教學中,總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各自不同的特點,但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱判斷要靠歸納推理來提供。為了增強歸納推理的可靠性,不管是以一般原理作指導還是對歸納推理的前提進行分析,都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運行過程中這種辯證統一正體現了兩者之間是交互為用的。
      在小學數學中,限于兒童的認知水平,數學知識的出現,較多地依賴于直觀、實驗和歸納,適當地進行演繹,以不斷提高學生的邏輯推理能力。例如加法交換律,最早出現在一年級,顯然不可能進行演繹論證,只能通過計算實踐,由8+5=13,5+8=13等歸納出加法交換律,但在對加法交換律的反復應用中又讓學生領會演繹思想,因此,在教學中要貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則。
      形式邏輯與辯證邏輯的并重和統一。一方面,數學中大量存在相對穩定的狀態,我們能用形式邏輯思維的方法進行分析和研究數學對象。另一方面,也存在顯著的運動狀態,如有限與無限的相互轉化,代數、幾何、三角各學科之間的轉化以及數學各種相關運算方法的發展與對立統一等,故能用辯證思維的方法認識數學概念的形成和關系的不斷發展變化。因此,在教學時要貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統一的原則,發展學生的數學思維能力。以數學概念教學為例,按形式邏輯思維規律,對于每一個數學概念的認識要前后一致,而且不容許存在不相容。如果存在著兩個互相排斥的認識,那么其中必有一真一假,概念數學必須遵循上述邏輯規則進行。但同時也應指出,用運動和發展的觀點來思考,數學概念也是隨著學生學習的數學知識的結構的發展而發展的。許多對立的概念可以統一起來(如實數和虛數同處于復數中),一個概念在不同的場合或不同的條件下可能有不同的認識(如三角函數的概念,最初學習的是銳角的正弦、余弦、正切和余切,被理解為直角三角形中一個銳角的對邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對邊比鄰邊和鄰邊比對邊,以后發展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割),即使在小學數學的發展中也是這樣。我們知道,數學的發展歸根到底是數學概念的不斷發展,這種發展又有自身的規律。人們常說的概念是在發展中形成,而且又是在形成后不斷發展的,所以一個數學概念具有確定性和靈活性兩個特點。就像“乘法”這個概念在整數和分數中具有不同的數學含義一樣。正如列寧所說“所有的定義都只有有條件的、相對的意義,永遠也不能包括充分發展的現象的各方面聯系”。這正是辯證邏輯思維在數學中的體現,與形成邏輯思維相比更高一級。
        三、數學方法的奇異美與教學
      恩格斯認為,數學是一門研究思想事物的抽象的科學。確實,數學具有兩重屬性,這兩重性可簡單地概括為:一是數學知識,二是數學思想方法。而數學方法是數學中最本質的東西,數學方法的奇異美常常成為產生新思想、新方法和新理論的起點,使規律化、程式化的世界出現意外的、帶有獨創性的成果,令人興奮和激動。
      如:“凸n(n>4)邊形的對角線最多有幾個交點?”這個問題,按照習慣,也許會從四邊形開始,逐步通過五邊形、六邊形……來構造對角線的交點,從中歸納出一般規律。當一次次構造的嘗試都未獲得理想的結果時,我們要敢于放棄傳統方法,另辟蹊徑:一個交點是由兩條對角線相交而成,兩條對角線由四個頂點確定,而凸n邊形任意四個頂點都能且只能確定一個交點,于是問題就轉化為“在n個頂點中任意取四個,共有幾種取法?”新穎的方法帶來了意想不到的效果,這便是化歸法的奇異美所在。我們在傳授數學知識的同時,更應注重數學方法的滲透,要求學生掌握方法的同時,能構造出解題模式,使數學美得到升華。
      數和形是數學中最基本的兩大概念,是數學研究的兩個重要側面,所以數形結合法是數學研究的重要思想方法。教學時,可利用數形結合來啟發學生的直覺思維。如對于具有極限意義的問題學生很難理解其結果,可以這樣做:讓學生觀察下圖,先將單位正方形分成100個小正方形,將99個涂上陰影;再將剩下的一個分成100個小正方形,將99個涂上陰影;如此無限下去,所有涂上陰影的小正方形的面積的和便為1,即,結果直接可從圖中得出。從這可以看出數形結合是直覺思維的橋梁,我們應利用這一橋梁,使學生從美學角度審視或整理自己掌握的知識,這樣能使他們的知識結構更完整、更充實。同時,為了使學生畫圖準確、迅速、美觀,教學時我們可以開展構圖比賽,培養學生創造美的能力。
      附圖
      綜上所述,數學正如羅素所說:“數學,如果正確地看它,不但擁有真理,而且有至高的美。”在數學教學中,要充分挖掘數學美的因素,引導學生對美的追求,使他們擺脫“苦學”的束縛,走入“樂學”的天地。


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