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    數學課堂中的“數學化”

    時間:2006-11-21欄目:數學論文

      一、“數學化”的含義
      兒童如何建構自己對數學概念的理解?兒童之間理解上的差異是如何產生的?如何促進學生早期數學思維和數學能力的發展?為了解決這些問題,我們需要引入一個新的概念——“數學化”。
      “數學化”是西方學者近年來提出的一個概念,具體是指師生在數學教學過程中國共產黨同努力、相互作用,使兒童準確理解數學表達或運算所需的規則和準則,最終形成自己關于各種物體和情境的數學模式。“數學化”對于學生數學思維的發展和解決問題能力的形成非常重……
        二、“數學化”的過程
      研究兒童的“數學化”,我們要追溯到兒童在學校的最早幾年。從數學問題在課堂中出現開始,兒童就開始了數學化的過程。下面,我們從教師的解釋、學生的表征和早期的算式三個方面來分析兒童的數學化。
      1.教師的解釋
      黑板上畫了四只站在電線上的鳥,旁邊有三只正飛的鳥。教師的任務是讓孩子們把這樣一幅圖畫理解為像7-3=4這樣的“算式”。這是一個最初步的數學化問題。在教學中,教師常常把這些復雜的關系分解為一系列的程序或更小的步驟,花費大量的時間解說、指導和糾誤,直到全班大多數學生理解了這些關系。下面的教學錄像片段典型地反映了這一過程。
      師:在這個式子里,數字"4"的含義是什么?(手指數字"4")
      生:是不是因為有四只鳥?(提高聲音問)
      師:這兒有許多鳥(多于四只),但這四只鳥有什么特別的地方?
      生:(幾個學生立即討論起來)它們站著。它們先來。它們個頭比較小。它們睡著了。
      師:那么,式子中數字"3"的含義是什么呢?(指著"3")
      生:(幾個學生)三只鳥在飛。它們剛到這兒。它們去回家。不是,它們飛走了!
      師:好,它們飛走了。那么,我們為什么又在這里寫一個減號呢?(指著減號)
      生:因為它們飛走了。
      師:那么等號的意思是……?
      生:(幾個學生一起說)它們一共剩多少只?結果……總共剩下多少只?
      師:對。結果總共剩下四只鳥。
      很明顯,通過如此的反復問答能夠促進學生把圖形表達和數式表達聯系起來,形成解釋規則的能力,在一些學生的思維中完成了最為初步的數學化。為此,教材的編寫者也進行了很多努力。他們通常用簡潔易讀的方式組織圖片,把要數的物體排列好,避免干擾項,用最簡單的和最顯眼的特征區別它們,并把相同任務的內容分組。
      2.學生的表征
      實際上,師生的反復問答常常只能使那些與教師思維方式相近的學生較好地完成數學化,最根本的原因是學生對圖片的不同表征。研究表明,學生實現圖片到算式的轉化是一個解釋的推理過程。在學習的過程中,學生經常要對圖畫中的數學關系進行推斷,然后與教師及其它同學的判斷進行比較性反思,最終形成自己的數學模式。比如,"1+1=2"表示一只鳥停留,一只鳥飛來。"4-3=1"表示留下的鳥比飛走的鳥少3只。“7×2=14”表示7只鳥共有14條腿。飛走的鳥(離開一個群體)可以形成減的模式,這些鳥加入另一個群體又形成了加的模式等。
      兒童一旦完成了圖畫與數學符號關系之間的轉化,并與“公認”的關系一致,就完成了這方面的數學化。但這一過程是緩慢而且復雜的。對于不同的學生而言,沒有一對一的現實圖片與數學表達符號之間的轉向,同一幅圖畫可以被不同的學生理解成多種不同的解釋。值得注意的是,一些教師把這些早期的表征和圖畫看作是不言自明的,用許多武斷的指令——“就看這兒”“你只需看這兒”引導學生。這種模糊的解釋超越了學生的接受力而成為一種障礙或對本意的理解產生干擾。有時盡管實屬無意,但卻壓制了學生數學概念和批判性推理能力的形成,阻礙了學生靈活的意義歸屬能力的發展,也剝奪了他們運用的樂趣。學生最終形成的不是數學化的能力和思維,而是一些機械的慣例和規則。
      3.早期的算式
      與表征數學概念相比,早期的“算式”是更為復雜的一種數學化過程。我們的調查表明,大多數小學數學教材最先介紹的是像"3+2=5"這樣的算式。先明確運算操作,包括加、減、乘、除;而后是等號,明確等號的意義;再后是結果。這一順序被認為是一個對操作和結果的一般描述,且符合我們寫的順序。教師試圖把這些早期的算式概括出來,使學生能夠理解和接受時,相關的問題就出現了。通常,教師先教給學生我們常用的算式"3+2=5",之后變化元素排列的順序成為"5=3+2",并解釋說:“現在我們一共有五顆珠子,其中有三顆紅色的和兩顆綠色的,現在我們把它寫下來。”這里教師沒有對話里這些元素的順序和寫的順序進行分析,因此,許多孩子毫不猶豫地寫下了"5+3=2",表現出他們業已形成的機械的書寫算式的習慣模式。教師再講解和引導,反復強調“+”號的意義和“=”號的意義,卻毫無作用。可見,如果學生習慣了一個模式,再用與其不同的模式就需要花費時間;如果不采取一定措施,另一個訓練的結果會和前面訓練的結果一樣糟糕和有局限。
      數學教學是一種數學化的過程。在數學化過程中師生共同努力,相互作用,共同完成數學化的過程。
        三、影響“數學化”的心理與社會因素
      為什么一些學生能夠順利地完成數學化的過程,而一些學生不能完成自己的數學化?我們分別從建構主義心理學社會學兩個角度考察,把這些因素概括為以下四個方面。
      1.教師的語言
      基礎教育階段的每一個數學化活動都必須從日常經驗和語言開始,教師的語言非常重要。首先,教師(尤其在基礎教育階段的教師)應該用簡單的日常用語進行陳述數學含義的訓練,否則他們在與學生的有關對話中,就不能熟練地識別學生相關話語中潛在的數學意義,也當然不能很好地促進學生形成意義和提高相應的表達。其次,教師應通過對話與學生充分地進行意義的協商,使學生理解的“主題”與教師的理解相一致,而不能只讓學生得到是或非的判斷。再者,學生可能會忽視教師的反對和提示,從而缺乏形成障礙的可能,教師要善于運用挑戰性的語言,提高學生的思考和自制能力。
      2.學生的“自然態度”
      由于遺傳和學習的經歷;兒童會不知不覺地形成一些數學學習的習慣,如習慣性的表征方式、思考問題的策略等。這些習慣性的常規通常在潛意識中運行,構成了兒童數學行為的基礎,我們稱之為“自然態度”。“自然態度”相對穩定,使兒童從緊張和無休止地做決定狀態中解脫出來。如果遇到新的問題,學生常常在潛意識中遵從“自然態度”。如果這樣不能理解或解決新的數學問題,他們往往要花費相當多的時間改變自己的“自然態度”,其間還需要教師的幫助和引導。
      3.師生的“互動模式”
      在我們的數學課堂中,數學化主要是通過師生之間的交互作用實現的。而且,由于人們普遍低估了學生間交互作用的意義,所以這種類型的交互作用沒有在日常教學實踐中充分發揮作用。師生間的交互作用,分為“單向”和“雙向”兩種。“單向模式”一般以教師為主導,引導學生通過反復操練形成數學習慣,學生處于被動地位;沒有機會反思自己的建構與教師和他人建構的差異,學習成果

    常常是機械的。“雙向模式”則以師生的積極互動為前提,對于一幅圖畫,教師要思考自己為什么把它理解為“減”的模式,而不是“加”,還要給學生充分的時間建構、反思和修正自己的模式。
      4.課堂中的文化因素
      實際上,數學課堂是一種數學文化,而不只是一種智力或心理活動。這些文化因素是教師和學生在長期的教學實踐中形成的,潛移默化中影響著學生的數學化。這些因素包括:①學生的成功和失敗以及被期望達到的一切結果;②學生對任務的焦慮;③可覺察到的教師的參與和情緒;④同班同學的反應;⑤師生運用的語句;⑥小組中被認同的行為風格等。從建構主義的角度出發,教師充分考慮這些因素,培育和保護健康的課堂文化。文化因素豐富、健康的課堂,學生的數學化會順利完成。相反,在一個文化貧乏的課堂中,即使是積極參與的學生,也沒有很多機會經歷挑戰和感受驚奇,學生的數學化和課堂文化的發展都會因此受損。
        四、對數學教學的啟示
      1.教師要成為“合作建構者”
      通過對數學化的過程及影響因素的分析,我們可以明顯看出教師的關鍵性作用。在學生數學化的過程中,教師要扮演合作建構者的角色,而不能只是一個主觀的領航員。在學生每一個概念化的過程中,教師都要先反思自己概念形成的過程,而后再分析學生建構的過程,通過對話和互動性的活動引導學生進行比較性反思。學生的數學化受個體表征問題的方式和生活經歷的影響,教師還要用簡潔豐富的生活語言,使學生順利地完成生活概念向數學概念的轉換。
      2.讓學生解決“自我組織”的問題
      本質而言,數學化的最終結果是學生在頭腦中建構自己對數學概念和問題情境的理解。由此,教師要在課堂中安排一些特定的階段,讓兒童解決“自我組織”的問

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